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L'ouvrage s'adresse aux étudiants de premier cycle, de licence ou de maîtrise de mathématiques, et constitue un excellent outil pour les candidats aux concours<br/>du CAPES et de l'agrégation. Les notions classiques sont abordées de façon élémentaire et rigoureuse : anneau, corps, homomorphisme, idéal, anneau quotient, idéal premier, idéal maximal, localisation, modules, algèbres, anneau de polynômes, anneau des séries formelles, modules et anneaux nœthériens, anneau factoriel, extensions entières d'anneaux, extensions transcendantes de corps. Les résultats de base sont démontrés : propriétés de l'anneau principal, théorèmes de Galois, théorème de transfert aux anneaux de polynômes, théorème des zéros de Hilbert, critère d'Eisenstein, théorème de Lüroth, propriétés des polynômes symétriques et du résultant. Chaque chapitre se termine par des exercices permettant d'aboutir à des résultats nouveaux : le petit théorème de Fermat, celui de Wilson, les nombres de Mersenne, de Fermat, les nombres parfaits, le théorème de Sturm, la règle des signes de Descartes, le théorème de d'Alembert-Gauss, l'indépendance des caractères (Artin), les extensions kummeriennes, les extensions d'Artin-Schreier, les quaternions de Hamilton, les nombres de Liouville, un théorème de Krull sur les anneaux nœthériens, la topologie de Zariski, le corps des fonctions elliptiques, la sphère de Riemann, les algèbres géométriquement intègres, les algèbres réduites, un revêtement cyclique de la droite projective... Au total, 260 exercices qui font l'originalité de l'ouvrage. |